Seccion de Matematica

Ley del seno y coseno

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen α = cos β = |BC| / |AB| = |BC| / 1 = |BC| = a

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan

cos α = sen β = |AC| / |AB| = |AC| / 1 = |AC| = b

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

a² = b² + c² − 2bc * cos(A)

b² = a² + c² − 2ac * cos(B)

c² = a² + b² − 2ab * cos(C)

Ejercicios:

* b: 27.4 cm. c: 59.8 cm. Cº: 122º
* b: 10 m. a: 8 m. c: 12 m.
* b: 6 cm. Aº: 48º c: 5 cm.

Los siguientes se hallan cuadrando los datos en un triángulo rectángulo=

*La base de una torre tiene un ángulo de elevación de 30º respecto a un observador situado a 200 m. cuesta abajo de la base. Dicho observador se da cuenta que una sección de la torre necesita reparación. Si los ángulos de elevación a los extremos de la sección dañada son 48º y 60º, halle la longitud de la sección por reparar.

*Un niño caminó 1260 pasos d eun campamento a un camio que corre en la dirección ESTE-OESTE. Después anduvo sobre el camino otros 920 pasos hasta un punto desde el cuál podía ver el campamento. Su brújula le indicó una dirección del campamento de norte 43º20' oeste. ¿Cuántos pasos tenía que caminar en esa direcciób para llegar de nuevo al campamento?

Solucion:

A ver para resolver el primer ejercicio tienes que usar el teorema del seno que afirma lo siguiente:
a/(sen A)= b/(sen B)= c/(sen C)
Cuando te piden resolver un triángulo lo que te están pidiendo es hallar la medida de todos sus lados y todos sus ángulos.
En el primer caso conocemos dos lados y un ángulo por lo tanto podemos utilizar el teorema del seno.
b / sen B = c / sen C
27.4 / sen B = 59.8 / sen 122º
27.4 / sen B = 70.51
27.4 = 70.51 sen B
sen B = 27.4 / 70.51
sen B = 0.3886 -> Bº = 22º51'56.1''
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º, por lo tanto para hallar la medida del tercer ángulo podemos servirnos de este dato.
Aº = 180º - (122º + 22º51'56.1'')
Aº = 180º - 144º51'56.1'' = 35º8'3.9''
Para hallar la medida del lado que falta nos servimos del teorema del seno de nuevo.
a / sen A = b / sen B
a / sen 35º8'3.9'' = b / sen B
a / 0.5755 = 27.4 / sen 22º51'56.1''
a = 0.5755 · 70.51
a = 40,58 cm

Para resolver el segundo ejercicio tenemos que utilizar el teorema del coseno ya que conocemos todos los lados y ningún ángulo. El teorema del coseno afirma lo siguiente:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ac cos B
Sustituyendo en la primera ecuación por los datos conocidos obtendremos la medida del ángulo A:
8^2 = 10^2 + 12^2 - 2·10·12 · cos A
64 = 100 + 144 - 240 cos A
240 cos A = 180
cos A = 180 / 240 = 0.75
A = 41º24'34.64''
Sustituyendo en la segunda ecuación por los datos conocidos obtendremos la medida del ángulo B:
10^2 = 8^2 + 12^2 - 2·8·12 · cos B
100 = 64 + 144 - 192cos B
192 cos B = 64 +144 - 100
192 cos B = 108
cos B = 108 / 192 = 0.5625
B = 55º46'16.08''
Para hallar el tercer ángulo simplemente utilizamos el dato de que la suma de los lados de un triángulo es igual a 180º:
C = 180º - (55º46'16.08'' + 41º24'34.64'') = 180 º - 97º10'50.72'' = 82º49'9.28''

Para resolver el tercer ejercicio tenemos que usar tanto el teorema del seno como el teorema del coseno:
Primero hallamos el valor del lado a mediante el teorema del coseno:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
a^2 = 6^2 + 5^2 - 2 · 6 · 5 · cos A
a^2 = 36 + 25 - 60 · cos 48º
a^2 = 61 - 40.15
a^2 = 20.85
a = 4.57

Resolución del primer problema:
Utilización de la fórmula: cos A = cateto contiguo / hipotenusa
cos 60º = h1 / 200
100 = h1
cos 48º = h / 200
h = 133.83 m
Longitud de la sección por reparar: 133.83 m - 100 m = 33.83 m
La verdad es que no se si está bien porque creo que el problema se puede entender de varias formas pero si dices que los datos hay que cuadrarlos en un triángulo rectángulo esa creo que sería la única solución posible.

Resolución del segundo problema:
Utilización de la fórmula del coseno: cos = cateto contiguo / hipotenusa
cos 43º20' = 1260 / h
0.7274h = 1260
h = 1732.26
Tiene que caminar 1732.26 pasos en esa dirección para llegar de nuevo al campamento.